UNA NUOVA PROPRIETA’ DEI NUMERI PRIMI 

 

La proprietà della simmetria dei numeri primi.

 

Considerato un numero naturale n, esclusi lo zero e l’unità, la somma di due numeri primi diversi fra loro è uguale a 2n se e soltanto se i due numeri primi sono simmetrici rispetto ad n.

 

Nell’insieme N₀, due numeri si dicono simmetrici rispetto a un dato numero n se, sulla semiretta orientata, sono equidistanti da esso.

 

Questa proprietà si verifica sperimentalmente con un procedimento logico-visivo.

 

Considerato un numero, per esempio  n = 8, si può verificare sulla semiretta orientata che la somma dei numeri primi 5 e 11 è uguale a 2n = 16 perché 5 e 11 sono simmetrici rispetto a  n = 8 e così per l’altra coppia di numeri primi 3 e 13.  

 

 

Supponiamo ora di voler trovare tutte le coppie di numeri primi simmetrici dalla cui somma si ottiene un numero pari 2n, per esempio 2n = 64. A tale scopo si procede nel seguente modo, utilizzando la tavola dei numeri primi:

 

a)    Si considerano i numeri primi che precedono la metà del numero dato

     che è n = 32 e quelli che la seguono al massimo fino a 2n – 1.

     In questo caso sono da considerarsi i numeri primi fino a 61.

 

 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,  14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,

 32 ,

33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52,  53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61.

 

b)    Si calcola la differenza fra 2n = 64 e il numero primo che precede n.

 

c)    Se la differenza è un altro numero primo, allora significa che la coppia di numeri primi trovata è simmetrica rispetto ad n e, di conseguenza, il numero dato 2n si può scomporre nella loro somma.        

64 – 31 = 33 (no)

64 – 29 = 35 (no)

64 – 23 = 41 (sì, i numeri primi 23 e 41 sono simmetrici rispetto al numero 32)

64 – 19 = 45 (no)

64 – 17 = 47 (sì)

64 – 13 = 51 (no)

64 – 11 = 53 (sì)

64 – 7 = 57  (no)

64 – 5 = 59  (sì)

64 – 3 = 61  (sì).

 

E’ facile verificare sulla semiretta orientata che i numeri primi dalla cui somma si forma il numero 64 sono le seguenti coppie simmetriche rispetto al numero 32:

 

23 e 41              17 e 47              11 e 53               5 e 59               3 e 61.

 

Ora, secondo questa proprietà, significa che i numeri primi sono infiniti. Infatti si può sempre trovare almeno una coppia di numeri primi simmetrici rispetto a un numero n grandissimo e il procedimento continuerebbe all’infinito! 

 

Conclusione.

 

Già nel 1742 il matematico tedesco Goldbach formulò la congettura secondo la quale “ogni numero pari maggiore di 2 si può scomporre nella somma di due numeri primi”, tuttavia egli non fece alcuna osservazione sul fatto che questi sono sicuramente simmetrici rispetto alla metà del numero dato.

Pertanto, possiamo concludere che questa proprietà costituisce una novità nello studio dei numeri primi.

 

Spunti didattici.

 

·       Determina tutte le coppie di numeri primi dalla cui somma si ottiene 24.

     Quanti numeri naturali ci sono negli intervalli tra essi, escludendo quello che rappresenta la metà del numero dato?

     Ripeti le stesse osservazioni per altre coppie di numeri primi dalla cui somma si ottiene un numero pari 2n ed 

    esponi le tue considerazioni.

                                                                                                                  [Soluzione  11 e 13   7 e 17   5 e 19]

 

 

SOMMARIO