NUOVE PROPRIETA’ DELLE TERNE PITAGORICHE PRIMITIVE
ANNA MONTEMURRO
In ogni terna pitagorica
primitiva si verifica quanto segue:
1) i due numeri
che rappresentano le misure dei cateti sono sempre: uno pari e l’altro dispari;
2) uno e uno
solo dei due numeri che rappresentano le misure dei cateti è sempre un multiplo
di 3;
3) il numero
che rappresenta la misura dell’ipotenusa è sempre dispari e mai è
multiplo di 3.
Data una terna pitagorica primitiva formata
dai numeri
n, n2 -1, n2 +1 ,
2 2
il punto 1) si verifica
facilmente perché, se n è un numero pari, n2 – 1 è senz’altro
dispari e viceversa.
2
Si vuole verificare il punto
2), cioè: se n non è un multiplo
di 3, allora n2 –1 è un multiplo di 3 oppure, se n è un multiplo di 3,
allora n2 –1 non è multiplo di 3.
Esaminiamo il caso in cui n non è un multiplo di 3, cioè: nÏM3 .
A tale scopo si considera la
successione dei numeri naturali, si elimina lo zero, l’1 e tutti i multipli di
3 e si calcola il valore n2-1 dei rimanenti numeri.
n n2 –1
0
1
2 3
3
4 15
5 24
6
7 48
8 63
9
10 99
11 120
12
... ...
Si osserva che il valore n2
– 1 è rappresentato sempre da un multiplo di 3.
Questo perché n2 -1 = (n+1) (n-1) è
formato dal prodotto del successivo al numero dato e del precedente e uno solo
dei due numeri è multiplo di 3; infatti, nella successione dei numeri naturali
tra un multiplo di 3 e il successivo ci sono due “ posti ”.
In conclusione, possiamo
affermare che:
se nÏ M3 ,
n2 -1Î M3
Viceversa, se nÎ M3 , allora n2 -1Ï M3 .
In tale caso, n2-1=
(n+1) (n-1) è formato dal prodotto del successivo al numero dato e del
precedente che, per quanto esposto precedentemente, non possono essere multipli
di 3.
Dunque, se nÎ M3 , n2 -1Ï M3
Il punto 3) si intuisce
facilmente.