TEOREMA k (di Montemurro)

 

In ogni triangolo rettangolo, in cui c rappresenta la misura dell’ipotenusa e a e b le misure dei cateti,

detto k il rapporto   e k₁ il rapporto   (o viceversa) sussiste la relazione  .

 

 

DIMOSTRAZIONE. Assegnato un triangolo rettangolo ABC, retto in Ĉ, si tracci l’altezza relativa all’ipotenusa e siano a, b, c, m, n, h, rispettivamente le misure dei cateti, dell’ipotenusa, delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa e dell’altezza ad essa relativa (Fig. 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 2

 

 

Per la dimostrazione della tesi, si scrive la formula che consente di calcolare la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo:

 

  (12)

                                                    

e si pongono in essa al posto di a, b, c, le formule trovate precedentemente nell’introduzione (che riporto qui per comodità), ossia:

 

 

 

 (13)

 

Quindi si ha:

 

 (14)

 

Dalla (14), dividendo per h entrambi i membri dell’uguaglianza, si ottiene che:

 

            (15)

 

Dalla (15) si trova in funzione di :

 

              (16)

 

ordinando e cambiando il segno si ha:

 

       (17)

 

              (18)

 

e, risolvendo si giunge alla tesi:

 

(19)

 

Poiché  le due radici sono coincidenti.

Quindi, in definitiva, si ottiene che:

 

 c.v.d.

 

 

NOTAZIONE

Abbiamo posto   e  

 

Ma, in uno stesso triangolo rettangolo, per la similitudine dei triangoli BHC , AHC …, sussistono le seguenti catene di rapporti uguali:

 

         

 

 

Il lettore può facilmente verificare che due triangoli rettangoli sono simili tra loro se, e solo se, hanno lo stesso valore k .

 

 

 

COROLLARIO 1. Una delle conseguenze del teorema  è che, sostituendo nelle formule date nell’introduzione , a  il valore  , si hanno tutti gli elementi di un triangolo rettangolo in funzione di  h e k :

 

                   (20)

 

.                              (21)

 

                               (22)

 

.                                  (23)                                                                  

 

                     (24)

 

.              (25)

                                                                  

                  (26)

 

.                  (27)    r_i  indica la misura del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo.

                                                                                                           

 

.                  (28)

 

 

Mettendo in rapporto a due a due le precedenti formule, se ne ottengono altre, come ad esempio:

 

                             (29)

 

                             (30)

 

                                  (31)

                                                                                                  

Dal confronto della  (27) e (28) risulta che in un triangolo rettangolo   e quindi   da cui scaturisce che:

 

Ogni triangolo rettangolo è equivalente a tanti quadrati congruenti tra loro, ciascuno di lato uguale a  , quanti ne indica il prodotto kk₁ .

 

APPLICAZIONI AI TRIANGOLI RETTANGOLI

 

SOMMARIO