TEOREMI NUOVI SUI TRIANGOLI

Anna Montemurro

Introduzione

Come nasce un nuovo teorema?

Non è facile rispondere a questa domanda perché questo può avvenire o per caso oppure mediante un accurato e intenso studio di un determinato argomento o anche per l’uno e l’altro motivo insieme.

Questo lavoro contiene uno studio sui triangoli, dai quali, appunto, sono scaturiti i teoremi nuovi presentati nelle pagine seguenti.

Mediante tale studio si giunge alla risoluzione di un triangolo con un metodo innovativo, cioè senza ricorrere a difficili ragionamenti oppure a complicate formule trigonometriche, ma utilizzando semplicemente il concetto di rapporto tra le misure di due grandezze.

(Such a study shows how to reach the solution of a triangle using an innovative method which does not require difficult reasonings or complicated trigonometrical formulas, but simply uses the concept of ratio between two quantities).

Osservazioni sui triangoli

Si voglia costruire uno degli infiniti triangoli avente l’altezza assegnata, ad esempio di 2 cm e calcolare le misure dei suoi lati (Fig. 1).

Fig. 1

A tale scopo, si può procedere nel seguente modo:

si moltiplica la misura h dell’altezza CH prima per un numero qualsiasi maggiore dell’unità, che ho chiamato fattore k , successivamente per il suo inverso, ossia per e si considerano i prodotti così ottenuti rispettivamente come la somma del lato a e della sua proiezione sulla base che è m e come la loro differenza, per cui risulta:

(1) (2)

Tale procedimento trova conferma nel fatto che, moltiplicando membro a membro la (1) e la (2), si ottiene la nota relazione:

(3)

Ora, conoscendo la somma e la differenza di due segmenti, per trovare la misura di ciascuno di essi, basta applicare le seguenti formule:

(4) (5)

Sostituendo nelle (4) e (5) i valori corrispondenti delle (1) e (2), si ottiene che:

(6) (7)

Con un procedimento analogo al precedente, scegliendo un altro numero qualsiasi maggiore dell’unità, che ho chiamato fattore k₁, si costruiscono , e si calcolano le misure b ed n.

Quindi si ha:

(8) (9)

(10) (11)

Le (6) e (7), (10) e (11) consentono di calcolare le misure dei lati di uno degli infiniti triangoli aventi altezza 2 cm, da noi costruito.

Poiché tra gli infiniti triangoli che hanno altezza 2 cm esistono anche i triangoli rettangoli (nei quali tale altezza diventa quella relativa all'ipotenusa o un cateto stesso), ci si chiede:

Di un triangolo rettangolo, è necessario conoscere entrambi i valori k e k₁? Certamente no!

Allora, qual è la relazione che lega k e k₁ in un triangolo rettangolo?

Dalle precedenti osservazioni scaturiscono:

il teorema k (di Montemurro) e

il teorema dell'altezza (di Montemurro).

Applicazioni al triangolo rettangolo

SOMMARIO