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Applicazioni al triangolo rettangolo

Nello svolgimento dei seguenti problemi ci si atterrà alle indicazioni letterali della figura 3 e si utilizzeranno le formule relative al triangolo rettangolo scaturite dal teorema k (di Montemurro) vedi corollario 1. Non occorre conoscerle tutte a memoria perché dalle prime quattro scaturiscono tutte le altre.

Qui ne ripeto le principali, per comodità:

(vedi la pagina “introduzione”)

Fig.3

Inoltre, sarà applicato il metodo innovativo che consiste nel mettere sempre in rapporto le misure date al fine di calcolare il valore k del triangolo rettangolo.

Utilizzando il metodo Montemurro, spesso risolveremo equazioni di 1°, 2°, 3°, 4° ….. grado. Quindi, possiamo dire che la loro risoluzione non è fine a se stessa!

ESEMPI

· In un triangolo si ha: e .

Si tratta di un triangolo rettangolo?

La risposta è positiva perché l’uguaglianza è vera per k = 3.

In un triangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa misura 3cm e la misura a+m è quadrupla di quella dell’altezza.

Per quale numero occorre moltiplicare la misura di tale altezza affinché con il valore b+n ottenuto, si formi un triangolo rettangolo?

Per il teorema Montemurro, il numero richiesto è:

· In un triangolo rettangolo: a =20 cm e m = 16 cm. Calcolare il perimetro

del triangolo.

Mettendo in rapporto la (1) e la (2) vedi introduzione, si trova che:

Quindi, dal rapporto tra la misura di a e il perimetro, scaturisce che:

Nota. Tradizionalmente, per calcolare quanto richiesto, occorre conoscere e applicare due teoremi: di Pitagora e di Euclide.

Con il nuovo metodo k ( di Montemurro), il problema si risolve con soli due passaggi che si basano sul concetto di rapporto tra due grandezze e, quindi, tra le rispettive misure.

In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa misura 2,4 cm e k = 2.

Calcolare il perimetro del triangolo e l’ampiezza dell’angolo b.

Dato che k = 2, con una calcolatrice scientifica (vedi natura trigonometrica di k) si trova che b = 53° 7’ 48.37”

· Di un triangolo rettangolo si conoscono le misure di un cateto (a= 4 cm) e della proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa (n = 1,8 cm). Quanto vale il perimetro del triangolo? E la sua area?

Dal rapporto e dall’equazione che ne deriva si ricava il valore k del triangolo che è 3.

Quindi, dal rapporto si trova

Si procede analogamente per il calcolo dell’area. Naturalmente si rapporta la formula dell’area a quella per il calcolo di a²(qui fare attenzione!) ; si trova così A = 6 cm².

· Il perimetro e l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo sono rispettivamente 120 cm e 24 cm. Calcolare le misure dei lati del triangolo.

Mettendo in rapporto le misure date, si ha:

da cui, risolvendo l’equazione che ne deriva, si trova

Quindi, utilizzando opportunamente i rapporti (vedi corollario 1), si ottengono le misure richieste:

· In un triangolo rettangolo si ha:

a+m = 36 cm e b+n = 24 cm.

Calcolare le misure dei lati del triangolo.

Dal rapporto si ricava l’equazione 2k² -5k-1=0 da cui si ottiene k = 3.

· E' possibile costruire un triangolo rettangolo che abbia 2p=136 cm, m=45 cm ?

Risolvendo l'equazione in k che si ricava dal rapporto delle misure date ed escludendo le radici , si ha che k = 4. Pertanto, la risposta al quesito è affermativa.