TEOREMA DELL'ALTEZZA  (di Montemurro)

In ogni triangolo, se poniamo

    e        

allora:

 

 Nota. D’ora in poi, per comodità di studio, le differenze a – m e b – n saranno indicate rispettivamente con  e ed  f .

 

DIMOSTRAZIONE. Si consideri un triangolo ABC, di base AB, si tracci l’altezza ad essa relativa e siano h, e, f rispettivamente le misure dell'altezza CH, di a – m e b – n (Fig. 4)

        Fig. 4

 

Si vuole dimostrare che:                                                                            

                           (35)                                                                                                    

La relazione (35) si dimostra facilmente perché si ottiene  moltiplicando membro a membro le (2) e (9) del presente lavoro, ossia:

              

 

Poiché il prodotto kk₁ non è altro che un numero ed  ef esprime l’area del rettangolo avente per dimensioni   e , il teorema dell'altezza si può interpretare geometricamente nel seguente modo:

 

in ogni triangolo il quadrato costruito su una delle sue altezze è equivalente a tanti rettangoli congruenti fra loro, ciascuno avente per dimensioni le misure e ed f , quanti ne indica il prodotto kk_{1  .}

 

COROLLARIO  Una delle conseguenze del teorema dell’altezza di un triangolo è la formazione della seguente catena di rapporti notevoli:

                  (36)             

                                                          

DIMOSTRAZIONE. Con riferimento alla figura 3, si considerino i  triangoli rettangoli BHC e  AHC.

Applicando a ciascuno di essi il teorema di Pitagora, si ottiene che:

                (37)

 

                     (38)

 Uguagliando i secondi membri della (37) e (38) , si ha :

che diventa :

e, per la proprietà del comporre:

   (39)                                 

 Poiché le differenze  e  sono state chiamate rispettivamente  e ed  f   si ha:

, da cui si ottiene:

                    (40)                                                                                               

Per l’uguaglianza:  , si può scrivere:

 

Ponendo nella (40) 

          si ricava:

 

                       (41)

Per il teorema dell'altezza:

      , quindi è dimostrata la (36)            

Nota. Il lettore può facilmente verificare che, partendo da uno dei rapporti notevoli della (36), si possono ottenere formule utili per la risoluzione di un triangolo qualsiasi.

Per esempio, applicando la proprietà dello scomporre alla proporzione che si ricava dal rapporto notevole

   si ha:

 

                             (42)

 

.               (43)

Quindi:

                                      (44)

 

.              (45)

                                                                                 

         (46)

 

                            (47)

 

   (48)

APPLICAZIONI

 SOMMARIO